Sistemas de ecuaciones: Desarrollo tema

Un sistema de dos ecuaciones lineales o de primer grado con dos incógnitas x, y es un sistema del tipo:

a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0

donde a1, b1, c1, a2, b2, c2  son números reales constantes, con a1, b1, a2, b2 no simultáneamente nulos. La representación gráfica de cada ecuación es una recta en el plano.

Si existe un valor de x y otro de y que satisface ambas ecuaciones, entonces el par ordenado (x,y) es la solución del sistema y corresponde al punto de intersección de las dos rectas.

Si el sistema de ecuación no tiene solución entonces las rectas correspondientes son paralelas. Si el sistema de ecuación tiene infinitas soluciones entonces las dos ecuaciones representan a la misma recta. Por ejemplo, la solución del sistema de ecuaciones

-4x+2y=-86x-y=6
es 12,-3 pues como se muestra a continuación, estos valores satisfacen ambas ecuaciones:
-4x+2y=-4·12+2·-3=-2+-6=-86x-y=6·12--3=3+3=6
Este sistema se puede resolver a través de los siguientes métodos:

1. Solución mediante el método de sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución, primero se despeja de una de las ecuaciones del sistema alguna de las variables, por ejemplo de la segunda ecuación vamos a despejar "y":
6x-6=y
Luego se sustituye esta expresión, en la otra ecuación:
-4x+2(6x-6)=-8
Y se resuelve la ecuación resultante:
-4x+2(6x-6)=-8-4x+12x-12=-8-4x+12x=-8+128x=4x=48x=12
Por último, se sustituye este valor en la otra ecuación:
-4x+2(6x-6)=-86x-6=y6·12-6=y3-6=y-3=y
El conjunto solución del sistema es:
-4x+2(6x-6)=-8S=12,-3

2. Solución mediante el método de igualación

El primer paso cuando se usa el método de igualación es despejar en ambas ecuaciones la misma variable. Al despejar "y" en la primer ecuación se obtiene
6x-6=y
Luego, al despejar la misma variable en la otra ecuación se obtiene:
2y=-8+4xy=-82+42xy=-4+2x
Ahora, se igualan dichas expresiones y se resuelve la ecuación resultante:
6x-6=-4+2x6x-2x=-4+64x=2x=24x=12
Por último, se sustituye este valor en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema, por ejemplo, en la primera:
6x-6=y6·12-6=y3-6=y-3=y
Como se puede ver, el conjunto solución del sistema es:
S=12,-3

3. Solución mediante el método de Suma y resta

El procedimiento consiste en multiplicar adecuadamente una de las ecuaciones del sistema, o las dos sí es más conveniente, para luego sumar los términos de cada una, y anular una de las variables. Por eso se denomina método de suma y resta o método de reducción. En el sistema anterior, se puede proceder de varias formas. En este caso, se multiplicará la primera ecuación por 6, y la segunda por 4:
-4x+2y=-8    (6)    6x-y=6             (4) -24x+12y=-48   24x-4y=24
Luego, se suma miembro a miembro de ambas ecuaciones, y así se cancela una de las variables (precisamente, la escogencia del 6 y 4 es para que se cancele la variable "x" después de sumar):
8y=-24y=-248=-3
Por último, se sustituye este valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones originales y se averigua el valor de la otra variable, resolviendo la ecuación resultante:
-4x+2·(-3)=-8-4x-6=-8-4x=-8+6-4x=-2x=-2-4=12
El conjunto solución del sistema es:
S=12,-3
4. Solución mediante el método de Gráfico
Mediante el método gráfico se pretende hallar o al menos aproximar con cierta exactitud, la solución del sistema de ecuaciones. Habrá algunos que será casi imposible resolver mediante este método, pero lo más importante es aproximarse. Primero, se traza la gráfica de cada una de las rectas, en un plano cartesiando. Para esto, se puede utilizar dos pares ordenados que pertenezcan al gráfico de cada una de ellas. En este caso, tenemos que los pares ordenados (-1,-6), (3,2) pertenecen a la gráfica de la recta -4x+2y=-8. Su gráfica es esta: Dos puntos que pertenecen a la recta 6x-y=6 son (0,-6), (1,0). Se ubican en el mismo plano cartesiano y se traza la gráfica: Al detallar la gráfica, se puede apreciar que se intersecan en un punto que parece ser 12,-3: Basta entonces sustituir este par ordenado en ambas ecuaciones para corroborar si corresponde al conjunto solución de dicho sistema. Como hemos visto en los métodos anteriores, efectivamente este par ordenado satisface ambas rectas, y por eso, el conjunto solución es S=12,-3